集合と論理の勉強法1 集合の基本

集合と論理の勉強法1 集合の基本

高校の数学Aで集合と論理の分野が苦手になることが多くなります。

中学では見慣れない記号がたくさん出てきて、数学の勉強がここで嫌になってしまうことも。しかし、集合と論理は入試でもよく出題されますし、数学の証明の基本となる単元です。

しかし、記号を覚えることに必死になっていると余計に分からなくなってします。基本を1つ1つしっかり確認していけば、数学が苦手な生徒さんでも実は分かりやすい単元です。

次のように記号の意味を図に書いて覚えていくようにしてください。

全体集合とは

「考えている対象全体」を表す集合を全体集合と言います。

記号はU で表します。(Universal Set の略)

*Universal の意味を辞書で調べてみましょう。「全体の」という意味があると思います。

ここでは、「あるクラス全員の集合=U」と考えてみます。

集合で覚えなければいけない記号6つ

集合がよく分からなくなったら、とにかくテスト前までにこの覚えなければいけない記号6つを確認してください。基本的な問題を解きながら確認していくことをおすすめします。

 

1集合の要素の要素   a∈A

あるaがAの集合の要素であるときa∈A と表します。

下のようにAの集合に属さないbは b\notin A と表します。

 

例) Aはクラスの中で猫が好きな集合

a さんは 猫が好きだから a∈A

bさんは 猫が好きでないから  b\notin A

2部分集合  A⊂B

集合AがBに含まれているとき A⊂B と表します。

大きさがA<B →A⊂B と覚えておくと良い。

例)Bがクラスの中で犬と猫が好きな集合

Aがクラスの中で猫が好きな集合

猫が好きな集合は犬と猫が好きな集合に含まれるので A⊂B となります。

3 共通部分 A∩B

AとBのどちらにも属する要素全体の集合を,「AとBの共通部分」といい,A∩Bと表します。

→言い換えると,「AかつB」

下の図のオレンジの部分になります。

例) Aがクラスの中で猫が好きな集合 Bがクラスのなかで犬が好きな集合

猫が好き かつ 犬が好き→猫が好き 犬が好き →猫も犬も好きな集合が共通部分になる

∩はキャップ(Cap)と読みます。要素の共通部分に帽子をかぶせているイメージで覚えてください。

4  和集合 A∪B

AとBの少なくとも一方に属する要素全体の集合「AとBの和集合」といい,A∪Bと表します。

→言い換えると,「AまたはB」

下のオレンジの部分全部になります。

例) Aがクラスの中で猫が好きな集合 Bがクラスのなかで犬が好きな集合

猫が好き または 犬が好き → 猫が好き  犬が好き →猫が好き、犬が好き、猫も犬も好きな人が全部含まれる

はカップ(cup)と読みます。コーヒーカップに集合の要素が全部入っているイメージで覚えてください。

5  空集合 Φ

「要素を1つももたない集合」「空集合」といいます。

記号はΦファイと読みますが、読み方は覚える必要はありません。)

下の図でAとBの共通部分はないので A∩B=Φ となります。

例 クラスの中で Aが音楽を選択してる人の集合 B が美術を選択している人の集合

音楽と美術を同時に選択出来ない場合 A∩B=Φ となる。

6  補集合 \bar { A }

集合Aに対して、全体集合に含まれる要素で、Aに属さない要素全体のことを補集合といいます。

記号は \bar { A } (Aバー)

下の図で集合A以外のオレンジの部分がAの補集合になります。

例)クラスの中で部活に入ってる集合がAとする。

部活に入っていない集合は  \bar { A }

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